3. Mathematical and physical concepts and basics

There are two main reasons for performing scientific activities: to understand how the world we live in functions and force it to function as we want.

Whilst studying the physics of life, we will be required to look at the phenomena objectively and to describe them precisely using mathematical language, because, as Galileo (1564-1642) said: Philosophy is written in that great book which ever lies before our eyes — I mean the universe — but we cannot understand it if we do not first learn the language and grasp the symbols, in which it is written. This book is written in the mathematical language, and the symbols are triangles, circles and other geometrical figures [mathematical analysis, calculus, systemic theory, theory of stability, game theory, chaos theory – J.F.], without whose help it is impossible to comprehend a single word of it; without which one wanders in vain through a dark labyrinth. In this chapter, we will discuss the basic knowledge or "symbols", as Galileo highlighted, without which the understanding of further considerations is not possible. I will try to do my best to make it understandable and interesting, but you might have to read it more than once. When all of this becomes clear, you will have a better understanding in all aspects of life.

When I was a student, I decided to learn the Pascal programming language. Nobody else knew it at the time so I could not expect help from anyone. There was only one book on this subject available to me. After reading it for the first time, I did not understand anything. After the second time, embarrassingly, still nothing. But I wanted to be the first person in the department to now this so much so I tried again. Finally, during the third reading, something began to dawn on me, but only after the fourth attempt was there a breakthrough - I understood everything! And interestingly, I found that the book was written perfectly and that nothing in it should be changed. If you, dear reader, find that repeated reading is a stupid idea not leading to the goal of understanding, I suggest that you research these issues on your own. You have many sources available today on the Internet and through independent research, you can compare different approaches about the same issue.

I realize that many people may consider this chapter unnecessary and take its discussion content for granted, especially those who have graduated holding mathematics or physics qualifications. They can skip the topics they know and go straight to pursuance and systemic theory. Nevertheless, I strongly encourage everybody to read the basics of maths and science, because - as I said - it is impossible to understand life without knowing the elementary concepts associated with it. It is difficult to talk about the nuances regarding the construction of a car if you do not know what the rim is, what is the role of the battery or do not know the principles by which engines operate. Without the foundation one cannot build a house, and the knowledge in this chapter is such a foundation. Anyone who talks about life or social issues should know the material. I emphasize everyone and I emphasize should. Politicians, lawyers, journalists, teachers, priests, entrepreneurs - everyone. Lay aside your prejudices against science. If you want to take a stand on a major issue, you have to think using mathematical logic! Do not hide behind the fact that you are a humanist or that you dislike mathematics. There is nothing contradictory in the fact that someone is a humanist - in the broadest sense - and at the same time is able think logically, can quickly see cause-effect relationships, think systemicly and analyze processes. Humanism does not mean ignorance of mathematics.

Preparing this chapter was extremely difficult, especially because of my goal of reaching the widest possible audience. It was my desire for everybody to understand these issues, both high school graduates and the uneducated. This goal has forced me to use the simplest terms and not descend into details, which will probably make the experts in specific fields argue. Nevertheless, my intention is to provide clear definitions, general principles and show processes rather than trudging through its details. Those interested in a deeper knowledge of the topics I encourage to make independent research. Discovering the knowledge by yourself is really exciting!

When I was ten years old I had to change schools. My dad was posted in Moscow for four years, the capital of, what was then, the Soviet Union. I didn't know my parents reasons, but they decided that I should go to a normal Soviet school instead of a special school for the children of diplomats. I remember the first few days very well. Everything was new to me: language, clothes, discipline. I did not know precisely what the teachers said, and this applied to all lessons except... arithmetic. I did not have major problems understanding it. Probably the first Russian word which I understood instantly was "pljus".

The language of mathematics is specific, precise and universal. F=ma, π, y=x+7, ..., such symbols and formulas can be found in every school around the world. Mathematics precisely defines the concepts that are used, and by using the theorems are able to establish clear relationships between them. Mathematics is used in physics, which is the study of reality aiming to discover the laws that affect this reality. They are both crucial to study the phenomena that surrounds us. These scientific disciplines are the foundation on which more specialized sciences are developed, such as chemistry, biology, psychology, economics, medicine, sociology, management etc. All of these can be considered as separate, more detailed sections of physics. Kinematics deals with the mathematical description of the motion of mechanical systems and studies the properties of these movements. And what is psychology? According to Wikipedia's definition it is the scientific study of mental functions and behaviours. Psychology has the immediate goal of understanding individuals and groups by both establishing general principles and researching specific cases [Wikipedia eng., The state of 2014.12]. The methodology is the same as it is in physics, but physics deals with tangible objects whereas psychology deals with complex living objects, mainly humans. So if you take each of these sciences to its basest level, it is physics.

Why do so many of us rejects maths and physics? No psychologist will ever say that they are a physicist! My teacher of Polish in high school admitted that knowing mathematics would be useful for him. We advised him to study the subject, but he didn't. Why did this happen? There are many reasons for this. The first one that comes to mind is that precision is not always necessary. In many areas, blurring the subject brings more benefits. If the Communists objectively and carefully analysed their economic performance against similar indicators from capitalist states, everyone, even themselves, would know that Communism was a "resource-ivore". And that the constantly growing shortage of resources does not lead to a just distribution of wealth, promised by them. There was nothing to share, because they were unable to produce anything? If they were mathematically precise, they would have realized that they had built a system which was falling face-first into economic collapse instead of the planned universal happiness. The second reason lies in education. The role of a teacher in our societies is to teach a syllabus provided by the government and to ensure as many students pass their exams, also provided by the government, as possible. If you don't agree with this statement, ask your friends if they know someone is fluent in a language that they only learnt in school. The third reason is our laziness - we simply do not want to. But if you, dear reader, have reached this place, it means that you are curious about the world and open to new experiences. I invite you on a journey to the land of mathematical and physical foundations. Probably some of them will be very well known to you, but I assure you that you will discover something new which you did not even expect existed.

3.2 Defining

3.3 An object and a system

3.4 Cognition

The perception of the world can be reduced to:

• isolating an object or system from the surrounding reality
• defining its properties
• determining causative factors that cause changes in the states of these properties
• and analysing what these changes can lead to¹⁹ and basically nothing more.

  3.4.1 Natural barriers of cognition

Jeśli się z nią zgodzimy, to powstaje kolejne pytanie: czy znając te prawa, stan obecny obiektów oraz ich pełną historię, da się przewidzieć przyszłość? Odpowiedzieć na nie można dwojako: optymistycznie – tak, przy czym nie ze stuprocentową dokładnością, i pesymistycznie – nie, nigdy nie da się przewidzieć przyszłości ze stuprocentową dokładnością. Pomimo że różne, obie te odpowiedzi niosą ten sam sens – przewidywać możemy tylko na pewnym poziomie dokładności. Ta niemożność określenia wszystkich przyszłych zdarzeń wynika z dwóch naturalnych barier: bariery obiektywnej obserwacji i bariery przetworzenia informacji. Do all objects in the Universe behave in accordance with the laws of physics? Yes, this is the main thesis of this book. This leads to another question: Is it possible to predict the future by following the laws of physics, the current state of all objects and its history?

    3.4.1.1 Objective observation barrier

Otaczającą nas rzeczywistość obserwujemy za pomocą zmysłów. Ich działanie oparte jest na bardzo prostej zasadzie – jakiś czynnik, na przykład foton lub fala dźwiękowa, odbija się od obserwowanego (lub nasłuchiwanego) przedmiotu albo jest przezeń emitowany, padając na komórki receptorowe narządów zmysłów wywołuje zmianę ich stanu. Nietrudno zauważyć, że skoro czynnik może zmienić stan komórki, to w taki sam sposób może zmienić i stan obserwowanego przedmiotu, jeśli tylko ten będzie odpowiednio mały. Sam zatem fakt obserwacji może zmienić obserwowany obiekt, a to prowadzi w prosty już sposób do wniosku, że nigdy nie będziemy w stanie dokładnie zmierzyć wszystkich stanów wszystkich otaczających nas obiektów – staniemy bowiem przed barierą obiektywnej informacji. Zresztą ograniczenia dotyczą nie tylko wymiarów małych, lecz także obiektów wielkich lub dalekich. Jeśli informacja na ich temat (lub ich elementów) dociera do nas z prędkością światła, a na to, by dotrzeć, potrzebuje pięciu minut, wówczas nie obserwujemy aktualnego ich stanu, lecz ten sprzed pięciu minut.

    3.4.1.2 Information processing barrier

Stany przyszłe nie zależą wyłącznie od stanów aktualnych, ma na nie wpływ również ich historia. Zatem danych do przetworzenia jest o wiele więcej niż samych obiektów. Już to jest wystarczającym powodem, dla którego nie da się zbudować komputera, który spamiętałby wszystkie dane niezbędne do opisania jego samego plus całej jego przeszłości. Komórka pamięci komputera pamięta wyłącznie swój stan aktualny i nie można w niej zapisać całej historii jej stanów – do tego potrzebne są inne komórki. Natomiast do spamiętania z kolei historii ich stanów potrzebne będą następne itd. Istotę bariery przetwarzania informacji doskonale tłumaczy następujący cytat: Chciałbym teraz opowiedzieć o tym, dlaczego nie potrafimy osiągnąć całkowitej pewności naszych prognoz i dlaczego zapewne nigdy się nam to nie powiedzie. Prognozowanie opiera się na „ekstrapolacji”. Jest to pojęcie matematyczne, oznaczające rozciąganie serii danych poza ostatni punkt o znanej wartości. Najbardziej naiwnym podejściem do przewidywania przyszłości dowolnego zjawiska jest dokonanie ekstrapolacji liniowej. Połóżmy na piecu garnek z wodą, zmierzmy jego temperaturę w czasie pierwszej minuty, potem w czasie drugiej. Przypuśćmy, że temperatura wzrosła od 25°C do 30°C, a później do 35°C. Na tej podstawie możemy przewidzieć, że temperatura będzie co minutę rosła o pięć stopni, tak więc po godzinie woda w garnku powinna mieć temperaturę 25°C +(60 x 5°C), czyli 145 stopni. Z punktu widzenia matematyki obliczenia są bez zarzutu, jednak z punktu widzenia nauki okazują się bardzo naiwne. Dlaczego? Ponieważ gdy woda osiągnie 100°C, zaczyna wrzeć i nie stanie się już cieplejsza. Po godzinie ogrzewania nadal ma temperaturę 100°C, o ile pozostanie jeszcze w formie cieczy. Przewidywanie naukowe wymaga znacznie więcej, niż tylko liniowej ekstrapolacji danych [wymaga budowania lepszych modeli – przyp. J.F.]. Najpierw musimy zrozumieć procesy fizyczne leżące u podłoża zjawiska. W prostym przypadku garnka na piecu powinniśmy wiedzieć, w jakich proporcjach oddawana przez piec energia rozkłada się między wodą a pojemnikiem (i w jaki sposób proporcje te zależą od temperatury). Musimy także wiedzieć, jak woda i pojemnik oddają energię cieplną do otaczającego nas powietrza (gdyż może to zależeć od temperatury) oraz co dzieje się, kiedy woda zmienia stan skupienia z ciekłego na gazowy. Jeżeli procesy te można opisać matematycznie i jeżeli wiemy, w jaki sposób rozwiązać otrzymane równania, możemy wówczas z dużą dokładnością przewidzieć temperaturę wody w dowolnej chwili w przyszłości. Cóż za ogromna praca intelektualna, a wszystko po to, by przewidzieć proste zjawisko fizyczne!
Pogoda, jak widzieliśmy, jest zjawiskiem znacznie bardziej skomplikowanym, niż przypadek garnka na piecu. Na pogodę składają się dziesiątki procesów fizycznych, a niektóre z nich (na przykład turbulencje) nie poddają się prostemu opisowi matematycznemu. Zjawiska pogodowe dotyczą całej Ziemi (zimowe wiatry na Antarktydzie mogą na przykład wpływać na przyszłą pogodę w Wirginii), dlatego modele matematyczne muszą uwzględniać nie tylko czas, ale i miejsce występowania zjawisk. Im więcej wprowadzimy zmiennych, tym pełniejsze i mniej naiwne stają się nasze matematyczne modele. Istnieją jednak wady takiego zwiększania stopnia złożoności naszych równań. Powiększając ilość zmiennych, powiększamy jednocześnie liczbę danych pomiarowych, których będziemy potrzebowali do obliczeń, oraz wydłużamy czas kalkulacji.
Komputery dokonały oczywiście rewolucji w naszych możliwościach dokonywania złożonych i żmudnych obliczeń – przeprowadzają je błyskawicznie. Jednak – jak na razie – komputery nie myślą. Każdy komputer musi otrzymać od człowieka zestaw odpowiednich instrukcji matematycznych. Człowiek dostarcza im także danych niezbędnych do przeprowadzenia zaprogramowanych operacji. Program i dane to dwie zupełnie różne rzeczy, które powstają w zupełnie inny sposób, jednakże błąd w którejś z nich prowadzi do błędnej prognozy. Wielki Albert Einstein na długo przez erą elektroniki ujął ten problem następująco: „Jak długo matematyka dotyczy rzeczywistości, nie może dawać pewności. Jak długo matematyka daje pewność, nie dotyczy rzeczywistości.”. Chodzi o to, że nasze modele matematyczne są jedynie modelami. Matematyka jest wynalazkiem człowieka, a Matka Natura może trzymać w zanadrzu coś zupełnie innego. Nieprawdopodobne, żeby jakikolwiek system matematyczny kiedykolwiek pozwolił dokładnie prognozować wszystkie przyszłe wydarzenia.
Przypuśćmy jednak, że jakiś adwokat diabła napisze program komputerowy, który przewiduje przyszłe położenie i prędkość każdej cząsteczki w ziemskiej atmosferze. Same cząsteczki oddziałują ze sobą w dość prosty sposób i równania opisujące ich ruch nie są szczególnie trudne do rozwiązania. Taki program komputerowy mógłby powiedzieć nam dokąd w dowolnej chwili w przyszłości będzie podążać każda cząsteczka i jak szybko będzie się przemieszczać. Mając takie informacje moglibyśmy dla tej samej chwili w przyszłości obliczyć w skali makroskopowej prędkość wiatru, temperaturę, wilgotność i ciśnienie barometryczne – czyli rzeczywiście przewidywać pogodę z dowolną dokładnością. Czy kiedyś stanie się to rzeczywistością? Niestety nie. Modelowanie atmosfery ziemskiej na poziomie oddziaływań międzycząsteczkowych jest nawet w teorii zupełnie niemożliwe. Atmosfera ziemska zawiera znacznie więcej cząsteczek niż jest elektronów (lub w tym wypadku fotonów) w jakimkolwiek komputerze. Żaden komputer nie potrafiłby w czasie rzeczywistym poradzić sobie z tempem, w jakim wszystkie cząsteczki atmosfery zmieniają prędkość i położenie. W każdej maszynie cyfrowej istnieje pewien poziom szczegółowości obliczeń matematycznych, powyżej którego będą one przebiegać wolniej niż zdarzenia w modelowanej rzeczywistości. Program modelujący pogodę na poziomie oddziaływań molekularnych mógłby z powodzeniem przewidzieć pogodę, lecz byłaby to prognoza pogody na poprzedni tydzień.
Istnieje więc fundamentalna zasada, w myśl której żaden komputer nie może modelować zachowania czegoś bardziej skomplikowanego niż on sam, chyba że model taki będzie działał wolniej niż modelowana rzeczywistość. Niestety prognozy pogody stają się bezużyteczne, jeżeli pojawiają się już po fakcie. Jeżeli chcemy tego uniknąć, nie mamy innego wyboru, niż ograniczyć złożoność naszych modeli i zająć się czymś dużo większym (i mniej licznym) niż cząsteczki atmosferyczne.
My jednak nie wymagamy niezwykłej dokładności w naszych prognozach pogody. Nikt na przykład nie dba o to, czy prognozowana temperatura będzie różniła się od rzeczywistej o 3°C. Błąd określenia czasu nadejścia huraganu może być rzędu kwadransa, a błąd prognozowanej wysokości spiętrzenia sztormowego wynosić około 20 centymetrów. Skoro dopuszczamy, by nasze prognozy były nieco niedokładne, to czy nadal istnieją wewnętrzne ograniczenia w możliwościach prognozowania? Oczywiście im większą niedokładność dopuszczamy, tym prognoza staje się bardziej wiarygodna. Jednak nie oznacza to zgody na tolerowanie niechlujstwa w nauce. Po prostu stajemy wobec faktu, że istnieją pewne epistemologiczne ograniczenia, które dyktują, jak dobra może być choćby najdoskonalsza działalność naukowa. W rezultacie nigdy nie możemy mieć pewności, że błędy w naszych przewidywaniach nie urosną przypadkiem do nieoczekiwanych rozmiarów.
Aby zrozumieć jak się to dzieje powróćmy do matematycznego modelu atmosfery, lecz zamiast modelować dynamikę poszczególnych cząstek obliczmy, jak zachowują się statystycznie małe ich grupy. Tym samym odchodzimy od rzeczywistości, lecz prognozy stają się lepsze. Jednak wszystko jest w porządku – zgodziliśmy się już z tym, że aby nasze prognozy były użyteczne, wcale nie potrzebujemy wyjątkowej dokładności. Czy natkniemy się na nowe trudności, jeżeli wyobrazimy sobie atmosferę jako przestrzeń podzieloną na wiele małych sześciennych komórek, z których każda opisana jest poprzez średnie położenie swoich cząsteczek i ich średnią prędkość? Niestety tak. Przypuśćmy, że dla celów obliczeniowych podzieliliśmy troposferę na 100 milionów sześciennych komórek. Każda z nich ma pojemność około 42 kilometrów sześciennych, co oznacza, że jej bok ma długość około 3,48 kilometra. Z punktu widzenia cząsteczek jest to bardzo dużo. Każda z komórek zawiera około 2,5 x 1037 cząsteczek powietrza, a więc dokonaliśmy znacznego uproszczenia. Dla potrzeb naszych modeli matematycznych musimy zmierzyć fizyczną wartość jedynie czterech parametrów termodynamicznych. (Można wybrać różne parametry, lecz dobry zestaw stanowią: temperatura, ciśnienie, gęstość i skład chemiczny.) Nasz uproszczony model powinien dość dobrze przewidywać pogodę, jeżeli tylko wykonalibyśmy 400 milionów pomiarów atmosferycznych, a wszystkie dokładnie w tej samej chwili. Czy to realne? Raczej nie. Żadna dająca się przewidzieć technika nie umożliwia jednoczesnego zebrania takiej ilości danych.
Wykorzystując satelity meteorologiczne i nawigacyjne, naziemne radary dopplerowskie i standardowe wyposażenie stacji meteorologicznych można dziś przeprowadzić wiele badań, lecz nie ma możliwości, by dokonać kilkuset milionów pomiarów i w tej samej chwili przesłać je do centralnego komputera. Gdy któregoś dnia będziemy już mieli takie możliwości, nasze codzienne prognozy pogody będą lepsze, lecz bardziej gwałtowne anomalie pogodowe, takie jak huragany czy tornada, zawsze będą w dużym stopniu zależeć od szczegółów, ukrytych gdzieś w atmosferycznych sześcianach, którymi muszą się posługiwać nasze matematyczne modele. Kiedy nauka napotyka na fundamentalne ograniczenia tego, co jest mierzalne i tego, co daje się opisać matematycznie, Matka Natura pozostaje nieskrępowana w sprawianiu nam kolejnych niespodzianek[13, str. 262-265].

  3.4.2 Diagram of cognition

  3.4.3 Observation

  3.4.4 Factors distorting observation

  3.4.5 Methods of eliminating distortions of observation

    3.4.5.1 Defining

    3.4.5.2 Mathematical exactness

    3.4.5.3 Emotional distance and adjectivelessness

    3.4.5.4 Changing parameters

    3.4.5.5 Source verification

    3.4.5.6 Impartiality of the observer

    3.4.5.7 Timelessness

    3.4.5.8 Removal of the subjective “I”

  3.4.6 Information generation

    3.4.6.1 Information generation by adopting the opinions of others

    3.4.6.2 Information generation by participation of “know-it-alls”

    3.4.6.3 Information generation by lying

    3.4.6.4 Information generation - authority

    3.4.6.5 Information generation resulting from an obsession over an idea

    3.4.6.6 Information generation in reaction to being observed

  3.4.7 Real life examples

  3.4.8 Thinking

    3.4.8.1 Model construction

3.5 Set, classification

3.6 Description of an object’s properties

3.7 Functions, parameters

3.8 Iteration

3.9 Distribution

3.10 Three types of balance